D'autres propriétés du logarithme décimal

Propriétés

Pour tous nombres entiers naturels \(n\) et pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs :

• \(\boxed{\text{log} (a^n) = n ~ \text{log} (a)}\)
  
• \(\boxed{\text{log} \left(\dfrac {a}{b} \right) = \text{log} (a) - \text{log} (b)}\)
  

Exemples

• \(\text{log} (2^4)= 4 \times \text{log} (2)\)
  
• \(8~\text{log} (1{,}5) = \text{log}(1{,}5^8)\)
  
• \(\text{log} \left( \dfrac{3}{7} \right) = \text{log}(3)-\text{log}(7)\)
  
• \(\text{log}(1{,}5)-\text{log}(2) = \text{log} \left( \dfrac{1{,}5}{2} \right)\)
  

Idées des preuves

• Pour \(n\) entier naturel positif et \(a\) réel strictement positif, on peut voir \(\text{log}(a^n)\) comme le logarithme décimal du produit de \(n\) facteurs tous égaux à \(a\) :
  \(\text{log}(a^n)=\text{log}(\underbrace{a\times a\times ... \times a}_{n~\text {fois}})\)
  
• L'idée de la preuve est d'utiliser la propriété fondamentale pour transformer le logarithme du produit de \(n\) facteurs en la somme de \(n\) termes tous égaux à \(a\). On obtiendrait ainsi :  \(\text{log}(a^n)=\text{log}(a\times a\times ... \times a)=\text{log}(a)+\text{log}(a)+...+log(a)=n\times\text{log}(a)=n\text{log}(a)\)
  
• Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs. On a : \(\text{log}\Big(\dfrac{a}{b}\Big)=\text{log}\Big(a\times \dfrac{1}{b}\Big)=\text{log}(a)+\text{log}\Big(\dfrac{1}{b}\Big)=\text{log}(a)+\text{log}(b^{-1})=\text{log}(a)-1\times \text{log}(b)=\text{log}(a)-\text{log}(b)\)